ispaik06

Kalman Filtering·Series overview

Kalman Filtering

Updated 2026-09-18·KO

이 시리즈는 linear-Gaussian state-space model에서 Kalman filter의 prediction과 correction을 유도하고, covariance modeling·구현·diagnostics·LQG 연결까지 다룹니다. Probability와 state-space의 기초는 기존 문서에 연결하고 반복하지 않습니다.

kf hub roadmap

The series moves from the model and two recursive steps to implementation, diagnostics, and the Riccati–LQG connection.

이 시리즈가 답하는 질문

Linear-Gaussian model 아래에서 다음 recursion이 왜 exact posterior mean과 covariance를 주는지 설명하는 것이 도착점입니다.

x^k−=Akx^k−1++Bkuk,Pk−=AkPk−1+Ak⊤+Qk,rk=yk−Hkx^k−,Sk=HkPk−Hk⊤+Rk,Kk=Pk−Hk⊤Sk−1,x^k+=x^k−+Kkrk,Pk+=(I−KkHk)Pk−.\begin{aligned} \hat x_k^-&=A_k\hat x_{k-1}^++B_ku_k, &P_k^-&=A_kP_{k-1}^+A_k^{\top}+Q_k,\\ r_k&=y_k-H_k\hat x_k^-, &S_k&=H_kP_k^-H_k^{\top}+R_k,\\ K_k&=P_k^-H_k^{\top}S_k^{-1}, &\hat x_k^+&=\hat x_k^-+K_kr_k,\\ &&P_k^+&=(I-K_kH_k)P_k^-. \end{aligned}

공부를 시작할 때 실제로 막힌 질문은 다음과 같습니다.

  • Posterior mean과 covariance를 Kalman gain으로 쓰는 식은 어디서 나오는가?
  • Position만 측정했는데 velocity estimate가 함께 바뀌는 이유는 무엇인가?
  • QQ와 RR은 단순한 tuning knob인가, model에서 나오는 covariance인가?
  • Kalman covariance recursion과 LQR Riccati equation은 어떤 의미에서 dual인가?

강의 지도

강의 답하는 질문 핵심 결과 선행 연결
L1 · The Linear-Gaussian Estimation Problem 어떤 문제를 어떤 가정 아래 푸는가? Gaussian belief의 closure Bayes Filter · State-Space Realizations & Canonical Forms
L2 · Prediction Dynamics가 mean과 covariance를 어떻게 옮기는가? Pk−=AkPk−1+Ak⊤+QkP_k^-=A_kP_{k-1}^+A_k^\top+Q_k [[Bayes and Particle Filters L4 - The Bayes Filter#2. Prediction step 유도
L3 · Scalar Measurement Update Prior와 scalar measurement를 어떻게 결합하는가? K=P−h/(h2P−+R)K=P^-h/(h^2P^-+R) L2 · Bayes Theorem
L4 · Multivariate Measurement Update Matrix gain은 왜 그 형태인가? K=P−H⊤(HP−H⊤+R)−1K=P^-H^\top(HP^-H^\top+R)^{-1} Positive Definiteness & Quadratic Forms
L5 · The Complete Recursive Filter 식을 안전한 구현으로 어떻게 옮기는가? complete predict–correct loop [[Kalman Filtering L1 - The Linear-Gaussian Estimation Problem
L6 · Noise Modeling and Diagnostics Q,R,P0Q,R,P_0와 residual을 어떻게 다루는가? innovation consistency·NIS [[Kalman Filtering L5 - The Complete Recursive Filter
L7 · Riccati, Observers, and LQG Observer·Riccati·LQR과 어떻게 연결되는가? steady-state filter·separation principle LQR, Riccati, and the Bellman Bridge

읽는 순서와 선행 지식

이미 아는 것 이 시리즈에서 쓰이는 곳 연결 문서
conditional distribution과 Bayes filter Gaussian posterior와 predict–update 해석 L4 · The Bayes Filter
state-space model A,B,HA,B,H와 observer 구조 State-Space Realizations & Canonical Forms
covariance와 PSD matrix uncertainty propagation과 covariance update Positive Definiteness & Quadratic Forms
observability와 detectability steady-state convergence 조건 Controllability, Observability, Stabilizability, Detectability
Bellman·Riccati recursion LQR–Kalman duality LQR, Riccati, and the Bellman Bridge

L1부터 순서대로 읽는 것이 기본입니다. Bayes filter notation이 낯설 때만 연결 문서로 돌아갑니다.

기호표

기호 의미
xk∈Rnx_k\in\mathbb R^n hidden state
uk∈Rpu_k\in\mathbb R^p known control input
yk∈Rmy_k\in\mathbb R^m measurement
Ak,Bk,HkA_k,B_k,H_k dynamics, input, measurement matrices
wk,vkw_k,v_k process noise, measurement noise
Qk,RkQ_k,R_k noise covariance matrices
x^k−,Pk−\hat x_k^-,P_k^- measurement 전 prior mean과 covariance
x^k+,Pk+\hat x_k^+,P_k^+ measurement 후 posterior mean과 covariance
rkr_k innovation 또는 measurement residual
SkS_k innovation covariance
KkK_k Kalman gain

Superscript −-와 ++는 부호가 아니라 같은 시각 kk에서 measurement를 반영하기 전과 후를 구분합니다.

이 시리즈에서 뺀 것

  • Probability·state-space·PSD의 기초 재강의 — 기존 문서와 중복되므로 링크만 둡니다.
  • Continuous-time Kalman–Bucy filter — discrete implementation과 CARE의 경계를 흐리지 않도록 분리합니다.
  • EKF·UKF — nonlinear approximation이므로 exact linear filter를 완성한 뒤 별도 학습 대상으로 둡니다.
  • Smoothing — filtering과 conditioning 대상이 다르므로 별도 주제입니다.
  • Information filter와 square-root filter — large-scale 또는 numerical linear algebra 심화입니다.
  • SLAM과 data association — estimator 하나보다 큰 inference system입니다.

목적성

Kalman filter는 robot state estimation에서 model prediction과 sensor correction을 결합하는 기본 구조입니다. 동시에 covariance propagation, observability, Riccati equation, LQG를 하나의 흐름으로 연결합니다. Formula lookup이 아니라 model assumption과 diagnostic residual을 읽을 수 있는 수준을 목표로 합니다.

더 읽을거리

  • Probabilistic Robotics (Sebastian Thrun, Wolfram Burgard, Dieter Fox) — Bayes filter 안에서 Kalman family의 위치를 볼 때
  • Optimal State Estimation (Dan Simon) — implementation과 nonlinear extensions를 더 깊게 볼 때
  • Stochastic Processes and Filtering Theory (Andrew Jazwinski) — convergence와 stochastic systems 이론이 필요할 때

Related: Bayes Filter · LQR and the Riccati Equation · Sensors vs Simulator in Robot RL

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