ispaik06

Kalman Filtering·Lecture 3 of 7

L3 · Scalar Measurement Update

Updated 2026-09-18·KO

시리즈: Kalman Filtering · 이전: L2 · 다음: L4

이 강의는 scalar prior와 scalar measurement를 결합해 Kalman correction을 유도합니다. Matrix 식에 들어가기 전에 innovation, gain, posterior variance의 역할을 한 변수에서 분리합니다.

형광펜: 정의·핵심 · 메커니즘·직관

목차

1. Predicted measurement

Prior와 measurement model을

x∼N(μ−,P−),x\sim\mathcal N(\mu^-,P^-),
y=hx+v,v∼N(0,R)y=hx+v,\qquad v\sim\mathcal N(0,R)

로 둡니다. State prior mean이 μ−\mu^-라면 predicted measurement mean은

y^−=hμ−\hat y^-=h\mu^-

입니다. State unit과 measurement unit이 다를 수 있으므로, measurement yy와 직접 비교할 대상은 μ−\mu^-가 아니라 hμ−h\mu^-입니다.

2. Innovation

Innovation 또는 measurement residual을

r=y−hμ−r=y-h\mu^-

로 정의합니다. 이는 실제 measurement와 prior가 예측한 measurement의 차이입니다.

Innovation은 estimate error 자체가 아닙니다. Measurement space에서 관측되는 prediction error이며 sensor noise도 포함합니다. 따라서 rr이 크다는 사실만으로 state estimate가 틀렸다고 판정할 수 없고, 그 크기를 innovation variance와 함께 봐야 합니다.

3. Innovation variance

x=μ−+e−x=\mu^-+e^-로 쓰면

r=h(μ−+e−)+v−hμ−=he−+v.r=h(\mu^-+e^-)+v-h\mu^-=he^-+v.

e−e^-와 vv가 independent이므로

S=Var⁡(r)(definition)=Var⁡(he−+v)(innovation substitution)=h2P−+R(independent variance sum).\begin{aligned} S &=\operatorname{Var}(r) &&\text{(definition)}\\ &=\operatorname{Var}(he^-+v) &&\text{(innovation substitution)}\\ &=h^2P^-+R &&\text{(independent variance sum)}. \end{aligned}

따라서

S=h2P−+R\boxed{S=h^2P^-+R}

입니다. SS는 prior가 measurement space에서 만드는 uncertainty와 sensor uncertainty의 합입니다.

4. Gaussian posterior 유도

Bayes theorem에서 yy에만 의존하는 normalization factor를 생략하면

p(x∣y)∝p(y∣x)p(x).p(x\mid y)\propto p(y\mid x)p(x).

Gaussian prior와 likelihood를 대입합니다.

p(x∣y)∝exp⁡[−(x−μ−)22P−−(y−hx)22R].p(x\mid y) \propto \exp\left[ -\frac{(x-\mu^-)^2}{2P^-} -\frac{(y-hx)^2}{2R} \right].

Exponent를 xx에 대해 정리하면

(x−μ−)2P−+(y−hx)2R=(1P−+h2R)x2−2(μ−P−+hyR)x+constant(quadratic expansion).\begin{aligned} &\frac{(x-\mu^-)^2}{P^-} +\frac{(y-hx)^2}{R}\\ &= \left(\frac{1}{P^-}+\frac{h^2}{R}\right)x^2 -2\left(\frac{\mu^-}{P^-}+\frac{hy}{R}\right)x +\text{constant} &&\text{(quadratic expansion)}. \end{aligned}

Posterior precision과 mean은

1P+=1P−+h2R,\frac{1}{P^+}=\frac{1}{P^-}+\frac{h^2}{R},
μ+=P+(μ−P−+hyR)\mu^+=P^+ \left( \frac{\mu^-}{P^-}+\frac{hy}{R} \right)

입니다. 이 precision form은 independent information이 더해진다는 사실을 직접 보여줍니다.

kf l3 scalar update

Multiplying the prior and likelihood produces a narrower posterior located between the prior mean and the measurement-implied state.

5. Scalar Kalman gain

Posterior variance를 먼저 정리합니다.

P+=(1P−+h2R)−1(precision result)=P−Rh2P−+R(fraction simplification).\begin{aligned} P^+ &=\left(\frac{1}{P^-}+\frac{h^2}{R}\right)^{-1} &&\text{(precision result)}\\ &=\frac{P^-R}{h^2P^-+R} &&\text{(fraction simplification)}. \end{aligned}

Kalman gain을

K=P−hh2P−+R\boxed{K=\frac{P^-h}{h^2P^-+R}}

로 정의합니다. Denominator는 §3의 SS이므로

K=P−hSK=\frac{P^-h}{S}

입니다. Numerator P−hP^-h는 state error와 innovation의 covariance이고, denominator SS는 innovation 자체의 variance입니다.

6. Posterior mean

Precision form의 posterior mean을 innovation form으로 바꿉니다.

μ+=P−Rh2P−+R(μ−P−+hyR)(posterior parameters)=Rμ−+P−hyh2P−+R(cancellation)=μ−+P−hh2P−+R(y−hμ−)(add and subtract P−h2μ−)=μ−+Kr(gain and innovation definitions).\begin{aligned} \mu^+ &=\frac{P^-R}{h^2P^-+R} \left( \frac{\mu^-}{P^-}+\frac{hy}{R} \right) &&\text{(posterior parameters)}\\ &=\frac{R\mu^-+P^-hy}{h^2P^-+R} &&\text{(cancellation)}\\ &=\mu^-+ \frac{P^-h}{h^2P^-+R} (y-h\mu^-) &&\text{(add and subtract }P^-h^2\mu^-\text{)}\\ &=\mu^-+Kr &&\text{(gain and innovation definitions)}. \end{aligned}

따라서

μ+=μ−+K(y−hμ−)\boxed{\mu^+=\mu^-+K(y-h\mu^-)}

입니다. Correction은 measurement 값을 그대로 더하는 것이 아니라 예상하지 못한 부분인 innovation만 state space로 되돌려 보냅니다.

숫자로 확인하겠습니다.

μ−=10,P−=4,h=1,R=1,y=12.\mu^-=10,\qquad P^-=4,\qquad h=1,\qquad R=1,\qquad y=12.

그러면

S=5,K=45=0.8,r=2,S=5,\qquad K=\frac45=0.8,\qquad r=2,
μ+=10+0.8×2=11.6.\mu^+=10+0.8\times2=11.6.

Prior보다 measurement uncertainty가 작으므로 posterior가 measurement 쪽에 더 가깝습니다.

7. Posterior variance

Gain form으로 posterior variance를 쓰면

P+=P−Rh2P−+R(precision result)=(1−P−h2h2P−+R)P−(common denominator)=(1−Kh)P−(gain definition).\begin{aligned} P^+ &=\frac{P^-R}{h^2P^-+R} &&\text{(precision result)}\\ &=\left(1-\frac{P^-h^2}{h^2P^-+R}\right)P^- &&\text{(common denominator)}\\ &=(1-Kh)P^- &&\text{(gain definition)}. \end{aligned}

따라서

P+=(1−Kh)P−\boxed{P^+=(1-Kh)P^-}

입니다. 숫자 예제에서는

P+=(1−0.8)4=0.8.P^+=(1-0.8)4=0.8.

Measurement를 반영한 뒤 uncertainty가 44에서 0.80.8로 감소합니다. 이 감소량은 실제 measurement 값 yy에 의존하지 않습니다. Linear-Gaussian model에서는 covariance update가 uncertainty geometry에만 의존하기 때문입니다.

8. Limiting cases

경우 Gain과 posterior 의미
R→0R\to0, h≠0h\ne0 Kh→1Kh\to1, P+→0P^+\to0 거의 noise 없는 measurement가 state를 결정
P−→0P^-\to0 K→0K\to0, P+→0P^+\to0 prior가 이미 거의 확정됨
R→∞R\to\infty K→0K\to0, P+→P−P^+\to P^- measurement가 정보 없음
h=0h=0 K=0K=0, P+=P−P^+=P^- sensor가 state에 의존하지 않음

Gain의 크기만 독립적으로 해석하면 안 됩니다. hh가 unit conversion을 포함하므로 estimate에 실제로 작용하는 비율은 KhKh이고, matrix case에서는 방향별 작용을 봐야 합니다.

이해 확인

1. Innovation과 state estimation error가 다른 이유를 설명하시오.

2. S=h2P−+RS=h^2P^-+R의 두 항이 각각 무엇을 나타내는지 쓰시오.

3. 숫자 예제에서 posterior mean과 variance를 구하시오.

4. Actual measurement 값이 posterior covariance 식에 나타나지 않는 이유를 설명하시오.

답

1. Innovation은 measurement space의 prediction error이며 measurement noise를 포함합니다. State estimation error는 hidden state와 estimate의 차이이므로 직접 관측되지 않습니다. → §2

2. h2P−h^2P^-는 prior state uncertainty를 measurement space로 옮긴 variance이고, RR은 sensor noise variance입니다. → §3

3. S=5S=5, K=0.8K=0.8, r=2r=2이므로 μ+=11.6\mu^+=11.6, P+=0.8P^+=0.8입니다. → §6 · §7

4. Linear-Gaussian conditioning에서 posterior covariance는 prior covariance와 measurement model·noise covariance로 결정됩니다. Measurement 값은 posterior mean만 이동시킵니다. → §7

controlestimationkalman-filtergaussian